3565. Пусть h_{1}
и h_{2}
— высоты треугольника, r
— радиус вписанной окружности. Докажите, что \frac{1}{2r}\lt\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}\lt\frac{1}{r}
.
Указание. Воспользуйтесь формулами: S=pr
и S=\frac{1}{2}ah_{a}
, где S
— площадь треугольника, p
— полупериметр, r
— радиус вписанной окружности.
Решение. Пусть h_{1}
и h_{2}
— высоты, проведённые к сторонам a
и b
; c
— третья сторона треугольника; S
— его площадь; p
— полупериметр. Тогда
p=\frac{a+b+c}{2}\gt\frac{a+b}{2}.
Поэтому
pr=S\gt\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)r=\left(\frac{S}{h_{1}}+\frac{S}{h_{2}}\right)r.
Следовательно,
\frac{S}{h_{1}}+\frac{S}{h_{2}}\lt\frac{S}{r}~\Rightarrow~\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}\lt\frac{1}{r}.
С другой стороны,
a+b\gt c~\Rightarrow~2a+2b\gt a+b+c~\Rightarrow~\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\gt\frac{a+b+c}{4}=\frac{p}{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~r\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)\gt\frac{pr}{2}~~\Rightarrow~r\left(\frac{S}{h_{1}}+\frac{S}{h_{2}}\right)\gt\frac{S}{2}.
Следовательно,
\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}\gt\frac{1}{2r}.