3581. Даны n
точек A_{1}
, A_{2}
, …, A_{n}
и окружность радиуса 1. Докажите, что на окружности можно выбрать точку M
, для которой MA_{1}+MA_{2}+\ldots+MA_{n}\geqslant n
.
Указание. Пусть M
и N
— две диаметрально противоположные точки данной окружности. Тогда либо M
, либо N
— искомая точка.
Решение. Пусть M
и N
— диаметрально противоположные точки окружности. Тогда
MA_{k}+NA_{k}\geqslant MN=2.
Складывая почленно эти неравенства для k=1,2,\ldots,n
, получим, что
(MA_{1}+MA_{2}+\ldots+MA_{n})+(NA_{1}+NA_{2}+\ldots+NA_{n})\geqslant2n.
Поэтому либо
MA_{1}+MA_{2}+\ldots+MA_{n}\geqslant n,
либо
NA_{1}+NA_{2}+\ldots+NA_{n}\geqslant n.