3589. Докажите, что из всех треугольников с данным основанием и данным углом при вершине наибольший периметр имеет равнобедренный треугольник.
Решение. Пусть сторона BC
треугольника ABC
равна данной величине a
, противолежащий угол равен постоянной величине \alpha
. Из теоремы синусов следует, что все такие треугольники вписаны в окружность радиуса R=\frac{a}{2\sin\alpha}
. Пусть \beta
и \gamma
— углы при вершинах B
и C
, b
и c
— противолежащие им стороны, p
— полупериметр треугольника. Тогда
2p=a+b+c=a+2R\sin\beta+2R\sin\gamma=a+2R(\sin\beta+\sin\gamma)=
=a+2R\sin\frac{\beta+\gamma}{2}\cos\frac{\beta-\gamma}{2}=a+2R\sin\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}\cos\frac{\beta-\gamma}{2}.
При этом a
и \frac{180^{\circ}-\alpha}{2}
— постоянные величины, а \cos\frac{\beta-\gamma}{2}
— переменная величина, не превосходящая 1. Значит, 2p
максимально, если \cos\frac{\beta-\gamma}{2}=1
, т. е. когда \beta=\gamma
. Следовательно, в этом случае треугольник равнобедренный. Что и требовалось доказать.