3592. В треугольник с периметром 2p
вписана окружность. К этой окружности проведена касательная, параллельная стороне треугольника. Найдите наибольшую возможную длину отрезка этой касательной, заключённого внутри треугольника.
Ответ. \frac{p}{4}
.
Указание. Расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности полупериметра и противолежащей стороны (см. задачу 219).
Решение. Пусть PQ
— указанный отрезок касательной к окружности, вписанной в треугольник ABC
с периметром 2p
, PQ\parallel AB
. Обозначим PQ=x
, AB=c
.
Треугольники CPQ
и CAB
подобны с коэффициентом \frac{x}{c}
. Если p_{1}
— полупериметр треугольника CPQ
, то p_{1}=p\cdot\frac{x}{c}
. С другой стороны, если K
— точка касания вписанной окружности со стороной AC
, то
p_{1}=CK=p-AB=p-c
(см. задачи 4805 и 219). Поэтому
p\cdot\frac{x}{c}=p-c.
Следовательно,
x=\frac{1}{p}\cdot c(p-c)\leqslant\frac{1}{p}\cdot\left(\frac{c+(p-c)}{2}\right)^{2}=\frac{1}{p}\cdot\frac{(c+p-c)^{2}}{4}=\frac{1}{p}\cdot\left(\frac{p^{2}}{4}\right)=\frac{p}{4},
причём равенство достигается при c=p-c
, т. е. при c=\frac{p}{2}
.