3599. Внутри остроугольного треугольника ABC
выбрана точка M
, являющаяся:
а) точкой пересечения медиан;
б) точкой пересечения биссектрис;
в) точкой пересечения высот.
Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники AMB
, BMC
, AMC
, равны, то треугольник ABC
— правильный.
Указание. а) Предположите, что AB\gt BC
, и воспользуйтесь формулой S=pr
.
б) Точка M
совпадает с центром равностороннего треугольника с вершинами в центрах указанных окружностей.
в) Предположите, что BC\gt AC
, и воспользуйтесь тем, что против большей стороны треугольника лежит больший угол.
Решение. а) Поскольку площади треугольников AMB
, BMC
и AMC
равны (каждая из них составляет третью часть площади треугольника ABC
), то из формулы S=pr
следует, что равны и периметры этих треугольников (рис 1).
Допустим, что AB\gt BC
. Тогда угол ADB
— тупой (D
— середина стороны AC
). Поэтому AM\gt MC
. Следовательно, периметр треугольника AMB
больше периметра треугольника BMC
, что невозможно.
б) Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
— центры вписанных окружностей треугольников AMB
, BMC
и AMC
. Поскольку радиусы этих окружностей равны, а BM
— биссектриса угла ABC
, то первая и вторая окружности касаются отрезка BM
в одной и той же точке (рис. 2). Аналогично для остальных пар окружностей.
Поскольку биссектрисы треугольника ABC
являются серединными перпендикулярами к сторонам равностороннего треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
, то точка M
— центр треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
. Поэтому, например, \angle BMC=120^{\circ}
, а так как \angle BMC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A
(см. задачу 1101), то \angle A=60^{\circ}
. Аналогично \angle B=60^{\circ}
.
в) Предположим, что BC\gt AC
(рис. 3). Обозначим через D
и E
точки касания вписанных окружностей треугольников AMC
и BMC
со сторонами AC
и BC
соответственно, r
— радиус окружностей. Поскольку радиусы этих окружностей равны и \angle CAM=\angle CBM
, то AD=BE
. Поэтому CD\lt CE
.
С другой стороны, поскольку BC\gt AC
, то \angle BAC\gt\angle ABC
. Поэтому
\angle MCA=90^{\circ}-\angle BAC\lt90^{\circ}-\angle ABC=\angle BCM.
Тогда
CD=r\cos\frac{1}{2}\angle MCA\gt r\cos\frac{1}{2}\angle BCM=CE,
что невозможно. Аналогично докажем, что BC
не может быть меньше AC
.