3602. На диаметре AC
некоторой окружности дана точка E
. Проведите через неё хорду BD
так, чтобы площадь четырёхугольника ABCD
была наибольшей.
Указание. Пусть O
— центр, R
— радиус окружности, OE=a
(рис. 1). Тогда S_{ABCD}=\frac{2R}{a}S_{\triangle OBD}
.
Решение. Пусть O
— центр, R
— радиус окружности, OE=a
(рис. 1). Тогда
S_{ABCD}=S_{\triangle ADC}+S_{\triangle ABC}=\frac{2R}{a}S_{\triangle ODE}+\frac{2R}{a}S_{\triangle OBE}=
=\frac{2R}{a}(S_{\triangle ODE}+S_{\triangle OBE})=\frac{2R}{a}S_{\triangle OBD}.
Следовательно, площадь четырёхугольника ABCD
наибольшая, когда наибольшая площадь треугольника OBD
.
Треугольник OBD
— равнобедренный,
OB=OD=R,~S_{\triangle OBD}=\frac{1}{2}R^{2}\sin\varphi,
где \varphi=\angle BOD
. Угол \varphi
тем меньше, чем меньше хорда BD
, или чем длиннее проведённый к этой хорде перпендикуляр OH
.
Поскольку OH\leqslant OE=a
, то наименьшее значение \varphi=\varphi_{0}
характеризуется тем, что отрезки OH
и OE
совпадают, что соответствует хорде BD
, перпендикулярной AC
. В этом случае \cos\frac{\varphi_{0}}{2}=\frac{a}{R}
.
Итак, остаётся найти наибольшее значение площади треугольника OBD
при \varphi_{0}\leqslant\varphi\lt\pi
. Возможны следующие два случая.
1) Если \varphi_{0}\leqslant\frac{\pi}{2}
, то максимум достигается при \varphi=\frac{\pi}{2}
. В этом случае
\frac{a}{R}=\cos\frac{\varphi_{0}}{2}\geqslant\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},~a\geqslant\frac{R}{\sqrt{2}},
а искомая хорда BD
, стягивающая дугу в 90^{\circ}
, должна отстоять от центра на расстояние \frac{R}{\sqrt{2}}
, т. е. должна касаться окружности с центром O
радиуса \frac{R}{\sqrt{2}}
.
2) Если же \varphi_{0}\gt\frac{\pi}{2}
(что будет при a\lt\frac{R}{\sqrt{2}}
), то максимум площади достигается при \varphi=\varphi_{0}
. В этом случае искомая хорда BD
должна быть перпендикулярна диаметру AC
.