3603. Высота треугольника в два раза меньше его основания, а один из углов при основании равен 75^{\circ}
. Докажите, что треугольник равнобедренный.
Указание. Докажите, что AC=BC
, используя метод «от противного».
Решение. Пусть в треугольнике ABC
угол BAC
равен 75^{\circ}
, а высота BN
вдвое меньше стороны AC
. Докажем, что BC=AC
.
Предположим, что BC\lt AC
. Тогда
\angle ABC\gt75^{\circ},~\angle ACB\lt30^{\circ},~BN\lt\frac{1}{2}BC\lt\frac{1}{2}AC,
что противоречит условию. Аналогично докажем, что BC
не может быть больше AC
.