3604. Существует ли треугольник со сторонами a=7
и b=2
, если известно, что высота, опущенная на третью сторону этого треугольника, является средним геометрическим двух других высот?
Ответ. Нет.
Указание. В предположении, что такой треугольник существует найдите его третью сторону и воспользуйтесь неравенством треугольника.
Решение. Предположим, что такой треугольник существует. Пусть h_{a}
, h_{b}
, h_{c}
— его высоты, опущенные на стороны a
, b
, c
соответственно (a=7
, b=2
); S
— площадь этого треугольника. Тогда
S=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}.
Отсюда h_{c}=\frac{bh_{b}}{c}
и h_{c}=\frac{ah_{a}}{c}
. Поэтому
h^{2}_{c}=h_{c}\cdot h_{c}=\frac{abh_{a}h_{b}}{c^{2}}=\frac{abh^{2}_{c}}{c^{2}}
Значит,
c^{2}=ab=14,~c=\sqrt{14}.
Поскольку a+c=2+\sqrt{14}\lt7
, такой треугольник не существует.