3605. Существуют ли две трапеции, основания первой из которых соответственно равны боковым сторонам второй, а основания второй — боковым сторонам первой?
Ответ. Нет.
Указание. Докажите, что в любой трапеции разность оснований больше разности боковых сторон.
Решение. Через вершину B
меньшего основания BC
трапеции ABCD
проведём прямую, параллельную боковой стороне CD
. Пусть эта прямая пересекает основание AD
в точке K
. В треугольнике ABK
AK=AD-DK=AD-BC,~BK=CD,
так как BCDK
— параллелограмм. Тогда
AD-BC\gt|AB-BK|=|AB-CD|,
т. е. в любой трапеции разность оснований больше разности боковых сторон. Следовательно, двух таких трапеций не существует.