3613. Две окружности касаются внешним образом в точке A
. Прямая, проходящая через точку A
, пересекает первую окружность в точке B
, а вторую окружность — в точке C
. Касательная в точке B
к первой окружности пересекает вторую окружность в точках D
и E
(D
лежит между B
и E
). Известно, что AB=5
и AC=4
. Найдите длину отрезка CE
и расстояние от точки A
до центра окружности, касающейся отрезка AD
и продолжений отрезков ED
и EA
за точки D
и A
соответственно.
Ответ. CE=6
, OA=2
.
Указание. Пусть общая касательная данных окружностей, проведённая через точку A
, пересекает отрезок BD
в точке M
, а N
— точка на продолжении отрезка MA
за точку A
. Докажите, что треугольники EAC
и BEC
подобны, а луч AB
— биссектриса угла DAK
. Затем воспользуйтесь теоремой: «Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам».
Решение. Пусть общая касательная данных окружностей, проведённая через точку A
, пересекает отрезок BD
в точке M
. Тогда MA=MB
. Обозначим \angle MAB=\angle MBA=\alpha
. Если N
— точка на продолжении отрезка MA
за точку A
, то \angle AEC=\angle CAN=\angle MAB=\alpha
(по теореме об угле между касательной и хордой). Следовательно, треугольники EAC
и BEC
подобны по двум углам (\angle ACE
— общий угол этих треугольников). Значит, \frac{CE}{AC}=\frac{BC}{CE}
, откуда CE^{2}=AC\cdot BC=4\cdot9=36
, а CE=6
.
Обозначим \angle BAD=\beta
. Поскольку четырёхугольник ADEC
вписан в окружность, то \angle BEC=180^{\circ}-\angle DAC=\angle BAD=\beta
. В то же время, из подобия треугольников EAC
и BEC
следует, что \angle CAE=\angle BEC
, поэтому \angle BAK=\angle CAE=\angle BEC=\angle BAD=\beta
(K
— точка на продолжении отрезка EA
за точку A
), т. е. луч AB
— биссектриса угла DAK
. Следовательно, центр O
окружности, упомянутой во второй части условия, лежит на отрезке AB
(это вневписанная окружность треугольника AED
, касающаяся стороны AD
.
Поскольку DO
— биссектриса угла ADB
, то \frac{AO}{BO}=\frac{AD}{BD}
. С другой стороны, из подобия треугольников BAD
и BEC
следует, что \frac{AD}{BD}=\frac{CE}{BC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}
. Значит, \frac{AO}{BO}=\frac{2}{3}
, поэтому \frac{AO}{BD}=\frac{2}{5}
. Следовательно, AO\frac{2}{5}BD=\frac{2}{5}\cdot5=2
.