3634. В угол вписано несколько окружностей, радиусы которых возрастают. Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности. Найдите сумму длин второй и третьей окружностей, если радиус первой равен 1, а площадь круга, ограниченного четвёртой окружностью, равна 64\pi
.
Ответ. 12\pi
.
Указание. Фигуры, состоящие из двух соседних окружностей, попарно подобны.
Решение. Поскольку площадь круга, ограниченного четвёртой окружностью, равна 64\pi
, то радиус четвёртой окружности равен 8. Пусть r
и R
— радиусы второй и третьей окружности соответственно. Заметим, что фигуры, состоящие из двух соседних окружностей, попарно подобны. Поэтому \frac{r}{1}=\frac{R}{r}=\frac{8}{R}
, откуда находим, что r=2
, R=4
. Следовательно, сумма длин второй и третьей окружностей равна 2\pi(r+R)=2\pi\cdot6=12\pi
.
