3659. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей.
Ответ. \frac{\sqrt{5}}{2}
.
Указание. Если M
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
со стороной AB
, а p
— полупериметр треугольника, то AM=p-BC
(см. задачу 219).
Решение. Пусть M
— точка касания вписанной окружности с гипотенузой AB
данного прямоугольного треугольника ABC
, BC=4
, AC=3
. O
— середина гипотенузы (центр описанной окружности), Q
— центр вписанной окружности, r
— её радиус, p
— полупериметр треугольника. Тогда
AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,~r=\frac{3+4-5}{2}=1,~AM=p-BC=6-4=2
(см. задачи 217 и 219),
OM=AO-AM=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}.
Из прямоугольного треугольника OMQ
находим, что
OQ=\sqrt{OM^{2}+QM^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.