3664. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна c
, а один из острых углов равен \alpha
. В треугольник помещены две окружности одинакового радиуса, каждая из которых касается одного из катетов, гипотенузы и другой окружности. Найдите радиусы этих окружностей.
Ответ. \frac{c}{2+\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)}
.
Указание. Выразите гипотенузу через искомый радиус и данный угол.
Решение. Пусть окружности радиусов r
с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются гипотенузы AB
соответственно в точках M
и N
и при этом \angle BAC=\alpha
. Если окружность с центром O_{1}
вписана в угол BAC
, то
AM=O_{1}M\ctg\angle MAO_{1}=r\ctg\frac{\alpha}{2}.
Аналогично находим, что
BN=r\ctg\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right).
Поскольку c=AB=AM+MN+NB
и MN=O_{1}O_{2}=2r
, то имеем уравнение
r\ctg\frac{\alpha}{2}+2r+r\ctg\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)=c,
откуда находим, что
r=\frac{c}{2+\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)}.