3682. Диагональ AC
выпуклого четырёхугольника ABCD
является диаметром описанной около него окружности. Найдите отношение площадей треугольников ABC
и ACD
, если известно, что диагональ BD
делит AC
в отношении 2:1
(считая от точки A
), а \angle BAC=30^{\circ}
.
Ответ. \frac{7}{8}
.
Указание. Примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.
Решение. Поскольку точки B
и D
лежат на окружности с диаметром AC
, то \angle ABC=\angle ADC=90^{\circ}
. Обозначим через R
радиус окружности. Пусть N
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
, M
и K
— проекции вершин соответственно B
и D
на AC
. Тогда
CN=\frac{2}{3}R,~CM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}R,
MN=CN-CM=\frac{2}{3}R-\frac{1}{2}R=\frac{1}{6}R,~BM=\frac{R\sqrt{3}}{2}.
Из прямоугольного треугольника BMN
находим, что
BM=\sqrt{BN^{2}-MN^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}R^{2}-\frac{1}{36}R^{2}}=\frac{R\sqrt{7}}{3}.
По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд BN\cdot ND=AN\cdot NC
, откуда находим, что
ND=\frac{AN\cdot NC}{BN}=\frac{\frac{2}{3}R\cdot\frac{2}{3}R}{\frac{R\sqrt{7}}{3}}=\frac{8R}{3\sqrt{7}}.
Из подобия прямоугольных треугольников BMN
и DKN
следует, что
\frac{BM}{DK}=\frac{BN}{ND}=\frac{\frac{R\sqrt{7}}{3}}{\frac{8R}{3\sqrt{7}}}=\frac{7}{8}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{BN}{ND}=\frac{7}{8}.