3693. На стороне BC
треугольника ABC
взята точка D
такая, что \angle CAD=2\angle DAB
. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ADC
и ADB
, равны соответственно 8 и 4, а расстояние между точками касания этих окружностей с прямой BC
равно \sqrt{129}
. Найдите AD
.
Указание. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, вписанных в треугольники ABD
и ACD
соответственно, M
и N
— точки их касания соответственно с стороной BC
, P
и Q
— точки касания соответственно с отрезком AD
. Пусть \angle BAD=2\alpha
, \angle ADO_{2}=\beta
. Тогда \angle DAO_{1}=\alpha
, \angle DAO_{2}=2\alpha
, \angle ADO_{1}=90^{\circ}-\beta
.
Используя тригонометрические соотношения в прямоугольных треугольниках DPO_{1}
и DQO_{2}
, составьте систему уравнений относительно x=DM=DQ
и y=DN=DQ
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, вписанных в треугольники ABD
и ACD
соответственно, M
и N
— точки их касания соответственно с стороной BC
, P
и Q
— точки касания соответственно с отрезком AD
. Пусть \angle BAD=2\alpha
, \angle ADO_{2}=\beta
. Тогда \angle DAO_{1}=\alpha
, \angle DAO_{2}=2\alpha
, \angle ADO_{1}=90^{\circ}-\beta
(\angle O_{1}DO_{2}=90^{\circ}
как угол между биссектрисами внешних углов).
Из прямоугольных треугольников APO_{1}
и AQO_{2}
находим, что AP=O_{1}P\ctg\alpha=4\ctg\alpha
и AQ=O_{2}Q\ctg2\alpha=8\ctg2\alpha
. Тогда
PQ=AP-AQ=4\ctg\alpha-8\ctg2\alpha=\frac{4}{\tg\alpha}-\frac{4(1-\tg^{2}\alpha)}{\tg\alpha}=4\tg\alpha\gt0.
Отсюда, в частности, следует, что точка Q
лежит между A
и P
, поэтому DP\lt DQ
.
Из прямоугольных треугольников DPO_{1}
и DQO_{2}
находим, что DP=O_{1}P\ctg(90^{\circ}-\beta)=4\tg\beta
и DQ=O_{2}Q\ctg\beta=8\ctg\beta
.
Обозначим DP=x
и DQ=y
. Тогда x+y=DP+DQ=DM+DN=MN=\sqrt{129}
и xy=4\tg\beta\cdot8\ctg\beta=32
. Решая систему
\syst{x+y=\sqrt{129}\\xy=32\\x\lt y,\\}
находим, что x=\frac{\sqrt{129}-1}{2}
, y=\frac{\sqrt{129}+1}{2}
. Тогда PQ=DQ-DP=y-x=1
. Ранее было установлено, что PQ=4\tg\alpha
, поэтому \tg\alpha=\frac{1}{4}
. Следовательно, AQ=\frac{8}{\tg2\alpha}=\frac{4(1-\tg^{2}\alpha)}{\tg\alpha}=16\left(1-\frac{1}{16}\right)=15
, откуда
AD=AQ+QD=15+\frac{\sqrt{129}+1}{2}=\frac{\sqrt{129}+31}{2}.