3783. В равнобочную трапецию ABCD
(BC\parallel AD
) вписана окружность, BC:AD=1:3
, площадь трапеции равна \frac{\sqrt{3}}{2}
. Найдите AB
.
Ответ. 1.
Указание. Если O
— центр окружности, то треугольник AOB
— прямоугольный.
Решение. Пусть O
— центр окружности радиуса r
, вписанной в трапецию, K
— точка касания окружности с боковой стороной AB
, а M
и N
— точки касания с основаниями BC
и AD
соответственно. Обозначим BC=a
. Тогда AD=3a
, высота трапеции равна 2r
. Значит,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot2r,~\mbox{или}~\frac{\sqrt{3}}{2}=2a\cdot2r=4ar,
Отсюда находим, что ar=\frac{\sqrt{3}}{8}
.
Заметим, что OK
— высота прямоугольного треугольника AOB
, проведённая из вершины прямого угла. Поскольку AK=AN=\frac{3a}{2}
и BK=BM=\frac{a}{2}
, то
r^{2}=OK^{2}=AK\cdot BK=\frac{3a}{2}\cdot\frac{a}{2}=\frac{3a^{2}}{4},
откуда находим, что r=\frac{a\sqrt{3}}{2}
.
Таким образом, имеем систему уравнений
\syst{ar=\frac{\sqrt{3}}{8}\\r=\frac{a\sqrt{3}}{2},\\}
из которой находим, что a=\frac{1}{2}
. Следовательно,
AB=\frac{3a}{2}+\frac{a}{2}=2a=1.