3799. Около окружности радиуса 3 описана равнобедренная трапеция ABCD
(BC\parallel AD
), площадь которой равна 48. Окружность касается сторон AB
и CD
в точках K
и L
. Найдите KL
.
Ответ. \frac{9}{2}
.
Указание. Пусть BH
— высота трапеции, OP
— перпендикуляр, опущенный из центра O
окружности на хорду KL
, K
— точка касания окружности с боковой стороной AB
. Тогда треугольники OPK
и AHB
подобны.
Решение. Пусть окружность радиуса r=3
касается боковых сторон AB
и CD
трапеции ABCD
соответственно в точках K
и L
соответственно; BH=2r
— высота трапеции.
Поскольку равнобедренная трапеция вписана в окружность, то
KL\parallel BC,~BC+AD=AB+CD=2\cdot AB,~AB=\frac{BC+AD}{2}.
Обозначим через S
площадь трапеции. Тогда
S=\frac{BC+AD}{2}\cdot CH,~\mbox{или}~48=\frac{BC+AD}{2}\cdot6,
откуда находим, что \frac{BC+AD}{2}=8
. Значит, AB=\frac{BC+AD}{2}=8
.
Перпендикуляр OP
, опущенный из центра O
окружности делит хорду KL
пополам.
Из подобия прямоугольных треугольников OPK
и AHB
следует, что \frac{PK}{OK}=\frac{BH}{AB}
. Отсюда находим, что
PK=\frac{BH\cdot OK}{AB}=\frac{6\cdot3}{8}=\frac{9}{4}.
Следовательно, KL=2\cdot PK=\frac{9}{2}
.