3801. В треугольнике KLM
отношение радиусов описанной и вписанной окружностей равно 3. Вписанная окружность касается сторон треугольника KLM
в точках A
, B
и C
. Найдите отношение площади треугольника KLM
к площади треугольника ABC
.
Ответ. 6.
Указание. Пусть O
— центр окружности, вписанной в треугольник KLM
. Тогда точка O
лежит внутри треугольника ABC
и
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}+S_{\triangle AOB}.
Далее примените теорему синусов и формулы для площади треугольника.
Решение. Пусть вершины A
, B
и C
треугольника ABC
лежат соответственно на сторонах ML
, KM
и KL
треугольника KLM
; O
— центр окружности радиуса r
, вписанной в треугольник KLM
, R
— радиус окружности, описанной около этого треугольника. Обозначим
ML=a,~KM=b,~KL=c,~\angle LKM=\alpha,~\angle KLM=\beta,~\angle LMK=\gamma.
Тогда
\angle BAC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\lt90^{\circ},~\angle ABC=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\lt90^{\circ},~\angle ACB=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}\lt90^{\circ}.
Поскольку все углы треугольника ABC
— острые, то центр O
окружности, описанной около треугольника ABC
, лежит внутри этого треугольника. Поэтому
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}+S_{\triangle AOB}=
=\frac{1}{2}\cdot OB\cdot OC\cdot\sin(180^{\circ}-\alpha)+\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OC\cdot\sin(180^{\circ}-\beta)+\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot\sin(180^{\circ}-\gamma)=
=\frac{1}{2}(r\cdot r\cdot\sin\alpha+r\cdot r\cdot\sin\beta+r\cdot r\cdot\sin\gamma)=\frac{1}{2}r^{2}(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma).
Поскольку
S_{\triangle KLM}=\frac{1}{2}\cdot KL\cdot KM\cdot\sin\angle LKM=\frac{1}{2}bc\sin\alpha,
то
\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle KLM}}=\frac{\frac{1}{2}r^{2}(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)}{\frac{1}{2}bc\sin\alpha}=\frac{r^{2}}{bc}\cdot\left(1+\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}+\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}\right)=
=\frac{r^{2}}{bc}\cdot\left(1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)=\frac{r^{2}(a+b+c)}{abc}.
Поскольку
S_{\triangle KLM}=\frac{a+b+c}{2}\cdot r~\mbox{и}~S_{\triangle KLM}=\frac{abc}{4R},
то
a+b+c=\frac{2S_{\triangle KLM}}{r},~\mbox{и}~abc=4S_{\triangle KLM}\cdot R.
Значит,
\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle KLM}}=\frac{r^{2}\cdot\frac{2S_{\triangle KLM}}{r}}{S_{\triangle KLM}\cdot4R}=\frac{r}{2R}=\frac{1}{6}.
Следовательно, \frac{S_{\triangle KLM}}{S_{\triangle ABC}}=6
.