3806. В треугольнике ABC
отрезок AD
— биссектриса, AD=l
, AB=c
, AC=b
. Найдите \angle BAC
.
Ответ. 2\arccos\frac{(b+c)l}{2bc}
.
Указание. Через точку D
проведите прямую, параллельную AB
, до пересечения со стороной AC
в точке M
. Тогда треугольник MDC
подобен треугольнику ABC
, а треугольник AMD
— равнобедренный.
Решение. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}.
Через точку D
проведём прямую, параллельную AB
, до пересечения со стороной AC
в точке M
. Тогда треугольник MDC
подобен треугольнику ABC
, причём коэффициент подобия равен \frac{CD}{CB}=\frac{b}{b+c}
. Значит,
DM=AB\cdot\frac{CD}{BD}=c\cdot\frac{b}{b+c}=\frac{bc}{b+c}.
Поскольку DM\parallel AB
, то \angle ADM=\angle DAB=\angle DAM
, поэтому треугольник AMD
— равнобедренный, причём AM=MD=\frac{bc}{b+c}
.
Высота MH
этого треугольника является его медианой, поэтому
\cos\angle DAM=\frac{AH}{AM}=\frac{\frac{1}{2}l}{\frac{bc}{b+c}}=\frac{(b+c)l}{2bc}.
Следовательно,
\angle BAC=2\cdot\angle DAM=2\arccos\frac{(b+c)l}{2bc}.