3809. В трапеции ABCD
(BC\parallel AD
) известно, что AD=3\cdot BC
. Прямая пересекает боковые стороны трапеции в точках M
и N
, AM:MB=3:5
, CN:ND=2:7
. Найдите отношение площадей четырёхугольников MBCN
и AMND
.
Ответ. \frac{9}{23}
.
Указание. Продолжите боковые стороны трапеции до пересечения в точке P
. Найдите отношения \frac{PM}{PB}
, \frac{PN}{PC}
и выразите площади указанных четырёхугольников через площадь треугольника PBC
.
Решение. Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке P
. Пусть BC=a
, AD=3a
, BM=5x
, AM=3x
, CN=2y
, ND=7y
.
Из подобия треугольников PBC
и PAD
следует, что BP=\frac{1}{3}AP
и CP=\frac{1}{3}DP
. Поэтому
BP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(3x+5x)=4x,~PC=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}(2y+7y)=\frac{9y}{2}.
Тогда
PM=BP+BM=4x+5x=9x,~PN=CP+CN=\frac{9y}{2}+2y=\frac{13y}{2}.
Обозначим S_{\triangle PBC}=s
. Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle PMN}=\frac{PM}{PB}\cdot\frac{PN}{PC}\cdot s=\frac{9x}{4x}\cdot\frac{\frac{13y}{2}}{\frac{9y}{2}}\cdot s=\frac{9}{4}\cdot\frac{13}{9}\cdot s=\frac{13}{4}s.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, поэтому S_{\triangle PAD}=9s
. Следовательно,
\frac{S_{MBCN}}{S_{AMND}}=\frac{S_{\triangle PMN}-S_{\triangle PBC}}{S_{\triangle APD}-S_{\triangle PMN}}=\frac{\frac{13}{4}s-s}{9s-\frac{13}{4}s}=\frac{\frac{9}{4}}{\frac{23}{4}}=\frac{9}{23}.