3825. В трапеции KLMN
известно, что LM\parallel KN
, \angle KLM=\frac{\pi}{2}
, LM=l
, KN=k
, MN=a
. Окружность проходит через точки M
и N
и касается прямой KL
в точке A
. Найдите площадь треугольника AMN
.
Ответ. \frac{a}{2}\sqrt{kl}
.
Указание. Пусть прямые NM
и KL
пересекаются в точке P
, а AB
— высота треугольника AMN
. Выразив \sin\angle KPN
из прямоугольных треугольников PLM
, найдите AB
.
Решение. Пусть прямые NM
и KL
пересекаются в точке P
, а AB
— высота треугольника AMN
. Обозначим \angle KPN=\alpha
. Из прямоугольных треугольников PLM
, PBA
и PKN
находим, что
\sin\alpha=\frac{LM}{PM},~\sin\alpha=\frac{AB}{AP},~\sin\alpha=\frac{KN}{PN}.
Перемножив почленно равенства
\frac{AB}{AP}=\frac{LM}{PM},~\frac{AB}{AP}=\frac{KN}{PN},
получим, что \frac{AB^{2}}{AP^{2}}=\frac{LM\cdot KN}{PM\cdot PN}
, а так как по теореме о касательной и секущей AP^{2}=PM\cdot PN
, то AB^{2}=LM\cdot KN=kl
.
Следовательно,
S_{\triangle AMN}=\frac{1}{2}\cdot MN\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{kl}.