3837. В окружность \gamma
с центром в точке O
вписан четырёхугольник ABCD
, диагонали которого перпендикулярны. Известно, что угол AOB
втрое больше угла COD
. Найдите площадь круга, ограниченного окружностью \gamma
, и сравните с числом 510, если CD=10
.
Ответ. \pi\cdot50(2+\sqrt{2})\gt510
.
Решение. Обозначим \angle COD=\alpha
, \angle AOB=3\alpha
. Пусть P
— точка на дуге AB
, не содержащей точки D
, а Q
— точка на дуге CD
, не содержащей точки A
. Поскольку угол между хордами AC
и BD
равен полусумме угловых величин дуг APB
и CQD
(см. задачу 26), то сумма угловых величин этих дуг равна 180^{\circ}
. Поэтому \alpha+3\alpha=180^{\circ}
. Отсюда находим, что \alpha=\frac{180^{\circ}}{4}=45^{\circ}
. Значит, \angle COD=\alpha=45^{\circ}
.
Пусть R
— радиус данной окружности. Из равнобедренного треугольника COD
находим, что
R=OC=\frac{\frac{1}{2}CD}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{5}{\sin22{,}5^{\circ}}.
Пусть S
— искомая площадь круга. Тогда
S=\pi R^{2}=\pi\cdot\frac{25}{\sin^{2}22{,}5^{\circ}}=\pi\cdot\frac{25}{\frac{1-\cos45^{\circ}}{2}}=\frac{50\pi}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{100\pi}{2-\sqrt{2}}=50\pi(2+\sqrt{2}).
Поскольку \pi\gt3
и \sqrt{2}\gt1{,}4
, то
50\pi(2+\sqrt{2})\gt150(2+\sqrt{2})\gt150(2+1{,}4)=150\cdot3{,}4=510.