3865. В равнобедренном треугольнике ABC
равные стороны AB
и CB
продолжены за точку B
и на этих продолжениях взяты соответственно точки D
и E
. Отрезки AE
, ED
и DC
равны между собой, а \angle BED\ne\angle BDE
. Найдите угол ABE
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Предположим, что BE\lt BD
. Поскольку AE=ED=DC
, треугольники AED
и CDE
— равнобедренные. Обозначим \angle DCE=\angle DEC=\alpha
, \angle BAC=\angle BCA=\beta
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ABE=\angle DBC=2\beta,~\angle DAE=\angle ADE=2\beta-\alpha.
Через вершину D
проведём прямую, параллельную AC
. Пусть K
— точка пересечения этой прямой с продолжением стороны BC
. Тогда AKDC
— равнобедренная трапеция (диагонали AD
и CK
образуют равные углы с основанием AC
), поэтому AK=DC=AE
. Треугольник AKE
— равнобедренный, поэтому
\angle AEK=\angle AKE=\angle AKC=\angle ADC=180^{\circ}-\beta-(\alpha+\beta)=180^{\circ}-2\beta-\alpha.
С другой стороны, по теореме о внешнем угле треугольника \angle AEK=\angle DAE+\angle ABE
, или
180^{\circ}-2\beta-\alpha=(2\beta-\alpha)+2\beta.
Отсюда находим, что \angle ABE=2\beta=60^{\circ}
. Аналогично для случая, когда BE\gt BD
.