3892. В трапеции ABCD
, описанной около окружности, BC\parallel AD
, AB=CD
, \angle BAD=45^{\circ}
. Площадь трапеции равна 10. Найдите AB
.
Ответ. \sqrt{10\sqrt{2}}
.
Указание. В данной трапеции средняя линия равна боковой стороне.
Решение. Пусть r
— радиус окружности, вписанной в данную трапецию, S
— её площадь, AB=CD=a
, BH
— высота трапеции.
Поскольку в трапецию вписана окружность, то AD+BC=AB+CD=2a
, а высота трапеции равна 2r
. Поэтому
S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=a\cdot2r=2ar.
Из прямоугольного треугольника ABH
находим, что
2r=BH=AB\cdot\sin45^{\circ}=\frac{a}{\sqrt{2}}.
Поэтому
2ar=2a\cdot\frac{a}{2\sqrt{2}}=\frac{a^{2}}{\sqrt{2}}=10.
Следовательно, AB=a=\sqrt{10\sqrt{2}}
.