3904. Четырёхугольник PQRS
вписан в окружность. Диагонали PR
и QS
перпендикулярны и пересекаются в точке M
. Известно, что PS=13
, QM=10
, QR=26
. Найдите площадь четырёхугольника PQRS
.
Ответ. 319.
Указание. Треугольники PMS
и QMR
подобны.
Решение. Углы PSQ
и PRQ
равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому треугольники PMS
и QMR
подобны по двум углам. Значит,
PM=QM\cdot\frac{PS}{QR}=10\cdot\frac{13}{26}=5.
Из прямоугольных треугольников PMS
и QMR
по теореме Пифагора находим, что
SM=\sqrt{PS^{2}-PM^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12,
MR=\sqrt{QR^{2}-QM^{2}}=\sqrt{26^{2}-10^{2}}=24.
Поэтому QS=SM+MQ=12+10=22
и PR=PM+MR=5+24=29
.
Следовательно,
S_{PQRS}=\frac{1}{2}\cdot QS\cdot PR=\frac{1}{2}\cdot22\cdot29=319.