3906. Площадь трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
(AD\gt BC
) равна 48, а площадь треугольника AOB
, где O
— точка пересечения диагоналей трапеции, равна 9. Найдите отношение оснований трапеции AD:BC
.
Ответ. 3.
Указание. S_{\triangle AOD}=\frac{DO}{OB}\cdot S_{\triangle AOB}
.
Решение. Заметим, что треугольники ABD
и ACD
равновелики, так как у них общее основание и равные высоты. Значит, равновелики треугольники COD
и AOB
.
Пусть \frac{AD}{BC}=x\gt1
. Из подобия треугольников AOD
и COB
следует, что \frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}=\frac{AD}{BC}=x
. Тогда
S_{\triangle AOD}=\frac{DO}{OB}\cdot S_{\triangle AOB}=9x,~S_{\triangle BOC}=\frac{CO}{OA}\cdot S_{\triangle AOB}=\frac{9}{x},
а так как
S_{\triangle AOD}+S_{\triangle BOC}=S_{ABCD}-S_{\triangle AOB}-S_{\triangle COD}=48-2\cdot9=30,
получаем уравнение 9x+\frac{9}{x}=30
, больший корень которого (x=3
) удовлетворяет условию x\gt1
.