3922. Прямая, параллельная стороне AB
треугольника ABC
, пересекает сторону BC
в точке M
, а сторону AC
— в точке N
. Площадь треугольника MCN
в два раза больше площади трапеции ABMN
. Найдите CM:MB
.
Ответ. 2+\sqrt{6}
.
Указание. Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон.
Решение. Обозначим S_{ABMN}=x
. Тогда S_{\triangle CMN}=2x
и S_{\triangle ABC}=x+2x=3x
.
Треугольник MCN
подобен треугольнику BCA
, причём коэффициент подобия равен
\sqrt{\frac{S_{\triangle MCN}}{S_{\triangle BCA}}}=\sqrt{\frac{2x}{3x}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Поэтому \frac{CM}{CB}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
. Следовательно,
\frac{CM}{MB}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=2+\sqrt{6}.