3958. Вписанная окружность касается сторон AB
и AC
треугольника ABC
в точках X
и Y
соответственно. Точка K
— середина дуги AB
описанной окружности треугольника ABC
. Оказалось, что прямая XY
делит отрезок AK
пополам. Чему может быть равен угол BAC
?
Ответ. 120^{\circ}
.
Указание. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Треугольник AKI
— равнобедренный.
Решение. Центр I
окружности, вписанной в треугольник ABC
, — точка пересечения биссектрис треугольника, а так как K
— середина дуги AB
описанной окружности этого треугольника, то CK
— биссектриса угла BCA
, и точка I
лежит на CK
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ACB=\gamma
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AIK=\angle ACI+\angle CAI=\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}.
С другой стороны
\angle KAI=\angle KAB+\angle BAI=\angle KCB+\angle BAI=\frac{\gamma}{2}+\frac{\alpha}{2}=\angle AIK,
значит, треугольник AIK
равнобедренный, AK=KI
. Основание T
его высоты KT
— середина отрезка AI
.
Пусть S
— точка пересечения биссектрисы AI
треугольника ABC
с отрезком XY
. Прямая XY
делит пополам отрезок AK
, а XY\parallel KT
(так как KT\perp AI
и XY\perp AI
), поэтому S
— середина отрезка AT
.
Обозначим AS=ST=t
. Тогда AT=TI=2t
, AI=4t
. Треугольник AXI
прямоугольный, так как IX\perp AB
как радиус вписанной окружности треугольника ABC
, проведённый в точку касания, а XS
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Значит,
AX=\sqrt{AS\cdot AI}=\sqrt{t\cdot4t}=2t,~\cos\angle XAI=\frac{AX}{AI}=\frac{2t}{4t}=\frac{1}{2},~\angle XAI=60^{\circ}.
Следовательно,
\angle BAC=2\angle BAI=2\angle XAI=2\cdot60^{\circ}=120^{\circ}.