3988. Точки M
и N
находятся на боковых сторонах AB
и CD
трапеции ABCD
, прямая MN
параллельна AD
, а отрезок MN
делится диагоналями трапеции на три равные части. Найдите длину отрезка MN
, если AD=a
, BC=b
, а точка пересечения диагоналей трапеции лежит внутри четырёхугольника MBCN
.
Ответ. \frac{3ab}{a+2b}
.
Указание. Рассмотрите две пары подобных треугольников: DNL
и DCB
, CNK
и CDA
.
Решение. Пусть отрезок MN
пересекается с диагональю AC
в точке K
, а с диагональю BD
— в точке L
. Обозначим MK=KL=LN=x
.
Из подобия треугольников DNL
и DCB
следует, что
\frac{DN}{DC}=\frac{LN}{BC}=\frac{x}{b}.
Тогда \frac{CN}{CD}=\frac{b-x}{b}
.
Из подобия треугольников CNK
и CDA
следует, что
\frac{2x}{a}=\frac{KN}{AD}=\frac{CN}{CD}=\frac{b-x}{b}.
Откуда находим, что x=\frac{ab}{a+2b}
. Следовательно, MN=3x=\frac{3ab}{a+2b}
.