3990. В окружность радиуса 5 вписан квадрат. На окружности отмечена точка, расстояние от которой до одной из вершин квадрата равно 6. Найдите расстояния от этой точки до трёх других вершин квадрата.
Ответ. 8, \sqrt{2}
, 7\sqrt{2}
.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Пусть расстояние от точки M
, лежащей на окружности, описанной около квадрата ABCD
, до вершины A
равно 6. Поскольку сторона квадрата равна 5\sqrt{2}\gt6
, то точка M
лежит на меньшей дуге AB
(или AD
). Тогда
\angle AMC=\angle ABC=90^{\circ},~\angle DMC=\angle DBC=45^{\circ}=\angle CAB=\angle CMB.
Обозначим MB=x
, MC=y
, MD=z
. Тогда
y=MC=\sqrt{AC^{2}-AM^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8.
Применяя теорему косинусов к треугольнику DMC
, получим уравнение
DC^{2}=MD^{2}+MC^{2}-2MD\cdot MC\cdot\cos\angle DMC,~\mbox{или}~50=z^{2}+8^{2}-2\cdot8z\cdot\frac{\sqrt{2}}{2},
причём z\gt6
. Отсюда находим, что z=7\sqrt{2}
.
Применяя теорему косинусов к треугольнику BMC
аналогично находим, что x=\sqrt{2}
.