3998. В треугольнике ABC
угол при вершине B
равен \frac{\pi}{3}
, а отрезки, соединяющие центр вписанной окружности с вершинами A
и C
, равны 4 и 6 соответственно. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Ответ. \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{19}}
.
Указание. Пусть O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. Тогда \angle AOC=120^{\circ}
. Далее примените теорему косинусов и выразите двумя способами площадь треугольника AOC
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. Поскольку AO
и BO
— биссектрисы углов BAC
и ACB
, то
\angle AOC=180^{\circ}-\frac{180^{\circ}-\angle ABC}{2}=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ABC=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}.
По теореме косинусов из треугольника AOC
находим, что
AC=\sqrt{OA^{2}+OC^{2}-2OA\cdot OC\cdot\cos120^{\circ}}=\sqrt{16+36+2\cdot4\cdot6\cdot\frac{1}{2}}=2\sqrt{19}.
Обозначим через r
искомый радиус. Тогда
S_{\triangle{AOC}}=\frac{1}{2}AC\cdot r=r\sqrt{19},~\mbox{и}~S_{\triangle{AOC}}=\frac{1}{2}OA\cdot OC\cdot\sin120^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.
Из уравнения r\sqrt{19}=6\sqrt{3}
находим, что r=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{19}}
.