4027. В трапеции ABCD
, в которой BC
и AD
— основания, диагональ AC
является биссектрисой угла BAD
, равного 120^{\circ}
. Радиус окружности, описанной около треугольника ABD
, равен \sqrt{3}
. Диагонали AC
и BD
пересекаются в точке O
. Площади треугольников AOD
и BOC
относятся как 4:1
. Найдите все стороны трапеции ABCD
.
Ответ. AB=BC=\frac{3}{\sqrt{7}}
, CD=3\sqrt{\frac{3}{7}}
, AD=\frac{6}{\sqrt{7}}
.
Указание. Докажите, что AD=2BC=2AB
.
Решение. Обозначим AB=x
. Поскольку треугольник ABC
— равносторонний (\angle ACB=\angle CAD=\angle CAB=60^{\circ}
), то BC=AB=x
и AC=x
. Поскольку треугольники AOD
и BOC
подобны с коэффициентом \sqrt{4}=2
, то AD=2BC=2x
.
Если R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABD
, то
BD=2R\sin\angle BAD=2\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3.
По теореме косинусов
BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}-2AB\cdot AD\cos\angle BAD,
или
9=x^{2}+4x^{2}+2x^{2}.
Отсюда находим, что x=\frac{3}{\sqrt{7}}
.
По теореме косинусов из треугольника ACD
находим, что
CD=3\sqrt{\frac{3}{7}}.