4030. Точка P
, лежащая внутри треугольника со сторонами a
, b
и c
, удалена от прямых, содержащих стороны, на расстояния d_{a}
, d_{b}
и d_{c}
соответственно, а h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
— соответствующие высоты треугольника. Докажите, что \frac{d_{a}}{h_{a}}+\frac{d_{b}}{h_{b}}+\frac{d_{c}}{h_{c}}=1
.
Решение. Соединим точку P
с вершинами треугольника. Пусть S_{a}
, S_{b}
и S_{c}
— площади образовавшихся треугольников со сторонами a
, b
и c
соответственно. Тогда
S_{a}=\frac{1}{2}ad_{a},~S_{b}=\frac{1}{2}bd_{b},~S_{c}=\frac{1}{2}cd_{c}.
В то же время,
S=\frac{1}{2}ah_{a},~S=\frac{1}{2}bh_{b},~S=\frac{1}{2}bh_{b},
поэтому
\frac{S_{a}}{S}=\frac{d_{a}}{h_{a}},~\frac{S_{b}}{S}=\frac{d_{b}}{h_{b}},~\frac{S_{c}}{S}=\frac{d_{c}}{h_{c}}.
Сложив эти три равенства, получим, что
\frac{S_{a}}{S}+\frac{S_{b}}{S}+\frac{S_{c}}{S}=\frac{d_{a}}{h_{a}}+\frac{d_{b}}{h_{b}}+\frac{d_{c}}{h_{c}},
а так как
\frac{S_{a}}{S}+\frac{S_{b}}{S}+\frac{S_{c}}{S}=\frac{S_{a}+S_{b}+S_{c}}{S}=\frac{S}{S}=1,
то
\frac{d_{a}}{h_{a}}+\frac{d_{b}}{h_{b}}+\frac{d_{c}}{h_{c}}=1.
Что и требовалось доказать.