4053. Дан параллелограмм, в котором острый угол равен 60^{\circ}
. Найдите отношение сторон параллелограмма, если отношение квадратов диагоналей равно \frac{1}{3}
.
Ответ. 1:1
.
Указание. Выразите квадраты диагоналей параллелограмма через его стороны по теореме косинусов.
Решение. Пусть d_{1}
и d_{2}
— диагонали параллелограмма (d_{1}\lt d_{2}
); a
и b
— соседние стороны. По теореме косинусов
d^{2}_{1}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos60^{\circ}=a^{2}+b^{2}-ab,
d^{2}_{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos120^{\circ}=a^{2}+b^{2}+ab.
Тогда
\frac{d^{2}_{1}}{d^{2}_{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}-ab}{a^{2}+b^{2}+ab}=\frac{1}{3}.
Поэтому
3a^{2}+3b^{2}-3ab=a^{2}+b^{2}+ab,
или
a^{2}+b^{2}-2ab=0,~\mbox{или}~(a-b)^{2}=0.
Следовательно, \frac{a}{b}=1
.