4082. В параллелограмме ABCD
угол A
тупой, AD\gt AB
, AD=7
. Точка A_{1}
симметрична точке A
относительно прямой BD
, а точка A_{2}
симметрична точке A_{1}
относительно прямой AC
и лежит на диагонали BD
. Найдите площадь параллелограмма ABCD
, если BA_{2}=\frac{4}{5}BD
.
Ответ. 15\sqrt{3}
.
Указание. Докажите, что треугольник AA_{1}A_{2}
— равносторонний и примените теорему косинусов.
Решение. Из свойств осевой симметрии следует, что A_{2}A=A_{2}A_{1}
и AA_{2}=AA_{1}
. Поэтому треугольник AA_{1}A_{2}
— равносторонний, а точка O
пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
является центром этого треугольника.
Обозначим BD=5x
. Тогда
A_{2}D=x,~AO=OA_{2}=OD-A_{2}D=\frac{5x}{2}-x=\frac{3x}{2},~\angle AOD=120^{\circ}.
По теореме косинусов
AD^{2}=OA^{2}+OD^{2}-2OA\cdot OD\cos120^{\circ},~\mbox{или}~49=\frac{9x^{2}}{4}+\frac{25x^{2}}{4}+\frac{15x^{2}}{4}.
Отсюда находим, что x=2
. Тогда BD=10
, AC=2AO=6
. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}BD\cdot AC\sin120^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}.