4086. В равнобедренном треугольнике ABC
из точки C
, являющейся вершиной прямого угла, опущена на гипотенузу высота CC_{1}
. Из точки C_{1}
проведены две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающие стороны BC
и AC
в точках A_{1}
и B_{1}
соответственно. Известно, что \angle C_{1}A_{1}B=60^{\circ}
, а гипотенуза AB=2\sqrt{5+2\sqrt{6}}
. Найдите длину отрезка A_{1}B_{1}
. Укажите её приближённое значение с точностью до 0,01.
Ответ. 2+\frac{2\sqrt{6}}{3}
; 3{,}63
.
Указание. Докажите, что треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
— равнобедренный и найдите A_{1}C_{1}
из треугольника A_{1}C_{1}B
по теореме синусов.
Решение. Заметим, что
\angle A_{1}C_{1}B=180^{\circ}-\angle C_{1}A_{1}B-\angle C_{1}BC=180^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ},~\angle CC_{1}A_{1}=15^{\circ},
\angle AC_{1}B_{1}=180^{\circ}-\angle A_{1}C_{1}B_{1}-\angle A_{1}C_{1}B=180^{\circ}-90^{\circ}-75^{\circ}=15^{\circ}.
Треугольники AC_{1}B_{1}
и CC_{1}A_{1}
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому A_{1}B_{1}C_{1}
— равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1}\sqrt{2}
. A_{1}C_{1}
найдём из треугольника C_{1}A_{1}B
по теореме синусов:
A_{1}C_{1}=\frac{BC_{1}\sin45^{\circ}}{\sin60^{\circ}}=\sqrt{5+2\sqrt{6}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}\sqrt{\frac{5+2\sqrt{6}}{3}}=
=\sqrt{2}\sqrt{\frac{15+6\sqrt{6}}{9}}=\sqrt{2}\sqrt{\frac{\sqrt{6}+2\cdot3\sqrt{6}+9}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}(\sqrt{6}+3).
Следовательно,
A_{1}B_{1}=A_{1}C_{1}\sqrt{2}=\frac{2(\sqrt{6}+3)}{3}.