4090. В треугольнике ABC
известно, что \angle BAC=\alpha
, \angle BCA=\gamma
, AB=c
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{c^{2}\sin\alpha\sin(\alpha+\gamma)}{2\sin\gamma}
.
Указание. Примените теорему синусов.
Решение. По теореме синусов
\frac{c}{\sin\gamma}=\frac{AC}{\sin(180^{\circ}-\alpha-\gamma)}~\Rightarrow~AC=\frac{c\sin(\alpha+\gamma)}{\sin\gamma}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\alpha=
=\frac{1}{2}c\cdot\frac{c\sin(\alpha+\gamma)}{\sin\gamma}\cdot\sin\alpha=\frac{c^{2}\sin\alpha\sin(\alpha+\gamma)}{2\sin\gamma}.