4097. Найдите высоту трапеции, у которой основания равны a
и b
(a\lt b
), угол между диагоналями равен 90^{\circ}
, а угол между продолжениями боковых сторон равен 45^{\circ}
.
Ответ. \frac{ab}{b-a}
.
Указание. Через одну из вершин меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную боковой стороне, и примените теорему косинусов.
Решение. Пусть BC
и AD
— основания данной трапеции ABCD
, BC=a
, AD=b
. Обозначим боковые стороны трапеции AB=x
, CD=y
, а высоту — h
.
Через вершину B
проведём прямую, параллельную боковой стороне CD
, до пересечения с основанием AD
в точке K
. Удвоенная площадь треугольника ABK
равна
xy\sin45^{\circ}=(b-a)h.
По теореме косинусов из этого треугольника находим, что
(b-a)^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy\cos45^{\circ}.
Пусть M
— точка пересечения диагоналей трапеции. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников AMB
, BMC
, CMD
и AMD
находим, что
x^{2}+y^{2}=(AM^{2}+BM^{2})+(CM^{2}+DM^{2})=
=(AM^{2}+DM^{2})+(BM^{2}+CM^{2})=a^{2}+b^{2}.
Таким образом, имеем уравнение
(a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2(b-a)h,
из которого находим, что h=\frac{ab}{b-a}
.