4099. Дан вписанный четырёхугольник ABCD
. Пусть H_{a}
, H_{b}
, H_{c}
и H_{d}
— ортоцентры треугольников BCD
, ACD
, ABD
и ABC
соответственно. Известно, что отрезки AH_{a}
, BH_{b}
, CH_{c}
и BH_{d}
пересекаются в одной точке H
— ортоцентре вписанного четырёхугольника ABCD
(см. задачу 4098). Известно также, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, и отрезок, соединяющий середины диагоналей любого четырёхугольника, пересекаются в одной точке G
— центроиде четырёхугольника (см. задачу 1223). Докажите, что точки H
, G
и центр O
описанной окружности четырёхугольника ABCD
лежат на одной прямой (прямая Эйлера вписанного четырёхугольника), причём G
— середина отрезка OH
.
Решение. Пусть L
и N
— середины сторон BC
и AD
соответственно. Поскольку H
— середина отрезка CH_{c}
, отрезок LH
— средняя линия треугольника CBH_{c}
. Поэтому LH\parallel BH_{c}\parallel ON
и LH=\frac{1}{2}BH_{c}
, а так как расстояние от ортоцентра треугольника до вершины вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны треугольника (см. задачу 1257), то ON=\frac{1}{2}BH_{c}=LH
. Значит, четырёхугольник ONHL
— параллелограмм. Его диагональ OH
проходит через середину диагонали LN
, т. е. через центроид G
четырёхугольника ABCD
. Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью Д.Швецова «Важная лемма», Квант, 2012, N5/6, с.57-60.