4110. Два круга, расстояние между центрами которых равно \sqrt{3}+1
, имеют радиусы \sqrt{2}
и 2
. Найдите отношение площади круга, вписанного в общую часть данных кругов, к площади общей части.
Ответ. \frac{3\pi(3+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6})}{7\pi-6(\sqrt{3}+1)}
.
Указание. Общая часть данных кругов состоит из двух сегментов. Известно, что площадь S
сегмента круга радиуса R
с центральным углом \varphi
радиан можно вычислить по формуле
S=\frac{1}{2}R^{2}(\varphi-\sin\varphi).
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей радиусов r_{1}=\sqrt{2}
и r_{2}=2
соответственно, d=\sqrt{3}+1
— расстояние между центрами этих окружностей. Поскольку r_{1}+r_{2}=2+\sqrt{2}\gt1+\sqrt{3}=d
, то окружности пересекаются, а так как r_{2}=2\lt\sqrt{3}+1=d
, то центр O_{1}
первой окружности лежит вне окружности с центром O_{2}
.
Пусть A
и B
— точки пересечения окружностей, C
и D
точки пересечения с отрезком O_{1}O_{2}
первой и второй окружностей соответственно. Тогда
d=O_{1}O_{2}=O_{1}C+O_{2}D-CD=r_{1}+r_{2}-CD.
Отсюда находим, что
CD=r_{1}+r_{2}-d=\sqrt{2}+2-\sqrt{3}-1=\sqrt{2}+1-\sqrt{3}.
Если r
— радиус окружности, вписанной в общую часть данных кругов, а s
— её площадь, то
r=\frac{1}{2}\cdot CD=\frac{\sqrt{2}+1-\sqrt{3}}{2},~s=\pi r^{2}=\frac{\pi(3+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6})}{2}.
Общая часть данных кругов состоит из двух сегментов. Известно, что площадь S
сегмента круга радиуса R
с центральным углом \varphi
радиан можно вычислить по формуле
S=\frac{1}{2}R^{2}(\varphi-\sin\varphi).
Обозначим \angle AO_{1}O_{2}=\alpha
, \angle AO_{2}O_{1}=\beta
. Из треугольника AO_{1}O_{2}
по теореме косинусов находим, что
\cos\alpha=\frac{r_{2}^{2}+d^{2}-r_{1}^{2}}{2r_{2}d}=\frac{2+4+2\sqrt{3}-4}{2\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}=\frac{1}{\sqrt{2}},
\cos\beta=\frac{r_{1}^{2}+d^{2}-r_{2}^{2}}{2r_{1}d}=\frac{4+4+2\sqrt{3}-2}{4(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Значит, \alpha=\frac{\pi}{4}
, \beta=\frac{\pi}{6}
.
Пусть S_{0}
— площадь общей части данных кругов. Тогда
S_{0}=\frac{1}{2}r_{1}^{2}(2\alpha-\sin2\alpha)+\frac{1}{2}r_{2}^{2}(2\beta-\sin2\beta)=
\frac{1}{2}\cdot2\cdot\left(\frac{\pi}{2}-1\right)+\frac{1}{2}\cdot4\cdot\left(\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}{2}\right)=\frac{7\pi-6(\sqrt{3}+1)}{6}.
Следовательно,
\frac{s}{S_{0}}=\frac{3\pi(3+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6})}{7\pi-6(\sqrt{3}+1)}.