4115. Через вершину A
треугольника ABC
проведена прямая l
, параллельная BC
. Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на сторонах BC
, AC
и AB
соответственно. Прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в одной точке. Прямые A_{1}B_{1}
и A_{1}C_{1}
пересекают прямую l
в точках E
и F
. Докажите, что AE=AF
.
Указание. Примените теорему Чевы (см. 1621).
Решение. Пусть точка E
лежит на прямой A_{1}B_{1}
, а точка F
— на прямой A_{1}C_{1}
. Треугольник AB_{1}E
подобен треугольнику CB_{1}A_{1}
, а треугольник AC_{1}F
— треугольнику BC_{1}A_{1}
, поэтому
AE=CA_{1}\cdot\frac{AB_{1}}{B_{1}C},~AF=BA_{1}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}.
Разделив первое равенство на второе и применив теорему Чевы (см. 1621), получим, что
\frac{AE}{AF}=\left(CA_{1}\cdot\frac{AB_{1}}{B_{1}C}\right):\left(BA_{1}\cdot\frac{AC_{1}}{C_{1}B}\right)=\frac{AB_{1}}{B_{1}C}\cdot\frac{CA_{1}}{A_{1}B}\cdot\frac{BC_{1}}{C_{1}A}=1.
Следовательно, AE=AF
.
Примечание. Утверждение верно и в случае, когда точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на прямых (не обязательно на сторонах) BC
, AC
и AB
.