4132. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон AB
и AC
в точках D
и E
. Докажите, что точки пересечения прямой DE
с биссектрисами углов B
и C
лежат на одной окружности с точками B
и C
.
Указание. Из точек P
и C
отрезок BQ
виден под одним и тем же углом.
Решение. Пусть биссектриса угла B
пересекает прямую DE
в точке P
, а биссектриса угла C
— в точке Q
. Обозначим углы при вершинах A
, B
и C
треугольника через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно.
Поскольку AD=AE
, треугольник ADE
равнобедренный, поэтому
\angle ADP=\angle ADE=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BPQ=\angle BPD=\angle ADP-\angle ABP=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=\frac{\gamma}{2},
а так как \angle BCQ=\frac{\gamma}{2}
, то из точек P
и C
, лежащих по одну сторону от прямой BQ
, отрезок BQ
виден под одним и тем же углом. Следовательно, точки P
, Q
, B
, C
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.