4141. В окружности проведён диаметр AB
. Через точку A
и произвольную точку M
этой окружности, отличную от A
и B
, проведена прямая, пересекающая в точке N
касательную к окружности, проведённую в точке B
. Докажите, что произведение AM\cdot AN
не зависит от выбора точки M
на окружности.
Указание. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
Решение. Касательная к окружности перпендикулярна диаметру, проходящему через точку касания, поэтому треугольник ANB
прямоугольный. Точка M
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому BM\perp AN
. Значит, BM
— высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
AM\cdot AN=AB^{2}=d^{2},
где d
— диаметр данной окружности. Отсюда следует решение задачи.