4147. Дан четырёхугольник ABCD
. Прямая, проведённая через вершину A
параллельно BC
, пересекает прямую BD
в точке M
. Прямая, проведённая через вершину B
параллельно AD
, пересекает прямую AC
в точке N
. Докажите, что прямые MN
и CD
параллельны.
Решение. Пусть прямая MN
пересекает прямую BC
в точке E
, прямая BN
пересекает прямую CD
в точке L
.
Поскольку EC\parallel AM
, треугольник CNE
подобен треугольнику ANM
, поэтому \frac{EN}{NM}=\frac{CN}{AN}
.
С другой стороны, NL\parallel AD
, поэтому \frac{CL}{LD}=\frac{CN}{AN}=\frac{EN}{NM}
. Следовательно, MN\parallel CD
(см. задачу 4146).