4155. Из точки M(-1;3)
проведена касательная к окружности (x-1)^{2}+(y+3)^{2}=4
. Найдите координаты точки касания.
Ответ. (-1;-3)
; \left(\frac{13}{5};-\frac{9}{5}\right)
.
Решение. Пусть O(1;-3)
— центр окружности, P(x;y)
— точка касания. Тогда вектор \overrightarrow{OP}(x-1;y+3)
перпендикулярен вектору \overrightarrow{MP}(x+1;y-3)
, поэтому \overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{MP}=0
, или
(x-1)(x+1)+(y+3)(y-3)=0~\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=10.
Координаты (x;y)
точки P
удовлетворяют системе уравнений
\syst{(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=4\\x^{2}+y^{2}=10.\\}
Вычитая из первого уравнения второе, получим систему
\syst{-2x+6y+20=4\\x^{2}+y^{2}=10,\\}
из которой находим, что x=-1
, y=-3
или x=\frac{13}{5}
, y=-\frac{9}{5}
.