4172. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, M
— точка пересечения его диагоналей, O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, вписанных в треугольники ABM
и CMD
соответственно, K
— середина дуги AD
, не содержащей точек B
и C
, \angle O_{1}KO_{2}=60^{\circ}
, KO_{1}=10
. Найдите O_{1}O_{2}
.
Ответ. 10.
Указание. Докажите, что \angle KO_{1}O_{2}=\angle KO_{2}O_{1}
.
Решение. Точка K
— середина дуги AD
, не содержащей точек B
и C
, поэтому BK
— биссектриса вписанного угла ABK
, значит, точка O_{1}
лежит на отрезке BK
. Аналогично, точка O_{2}
лежит на отрезке CK
.
Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности, поэтому лучи MO_{1}
и MO_{2}
— биссектрисы вертикальных углов AMB
и CMD
, значит, точка M
лежит на отрезке O_{1}O_{2}
и
\angle BMO_{1}=\angle DMO_{2}=\angle CMO_{2}.
Вписанные углы ABD
и ACD
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle ABD=\angle ACD
. Тогда
\angle MBO_{1}=\frac{1}{2}\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ACD=\angle MCO_{2}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle KO_{1}O_{2}=\angle MBO_{1}+\angle BMO_{1}=\angle MCO_{2}+\angle CMO_{2}=\angle KO_{2}O_{1},
поэтому треугольник O_{1}KO_{2}
— равнобедренный, а так как один из его углов равен 60^{\circ}
, то этот треугольник — равносторонний. Следовательно, O_{1}O_{2}=KO_{1}=10
.