4179. Докажите, что все выпуклые четырёхугольники, имеющие общие середины сторон, равновелики.
Указание. Площадь четырёхугольника с вершинах в серединах сторон данного четырёхугольника в два раза меньше площади данного четырёхугольника (см. задачу 3019).
Решение. Докажем сначала, что площадь четырёхугольника с вершинах в серединах сторон данного выпуклого четырёхугольника в два раза меньше площади данного четырёхугольника.
Пусть S
— площадь данного четырёхугольника ABCD
, s
— площадь четырёхугольника, вершины которого — середины K
, L
, M
и N
сторон AB
, BC
, CD
и AD
соответственно.
Поскольку KL
и MN
— средние линии треугольников ABC
и ADC
, то
S_{\triangle KBL}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC},~S_{\triangle MDN}=\frac{1}{4}S_{\triangle ADC}.
Поэтому
S_{\triangle KBL}+S_{\triangle MDN}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}+\frac{1}{4}S_{\triangle ADC}=\frac{1}{4}(S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC})=\frac{1}{4}S.
Аналогично
S_{\triangle KAN}+S_{\triangle MCL}=\frac{1}{4}S.
Следовательно,
s=S-S_{\triangle KBL}-S_{\triangle MDN}-S_{\triangle KAN}-S_{\triangle MCL}=S-\frac{1}{4}S-\frac{1}{4}S=\frac{1}{2}S.
Что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь выпуклые четырёхугольники, имеющие общие середины сторон. По доказанному выше, площадь каждого из них вдвое больше площади параллелограмма с вершинами в общих серединах сторон, следовательно, все эти четырёхугольники равновелики.