4191. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
. Известны площади треугольников ABP
, BCP
, CDP
. Найдите площадь треугольника ADP
.
Ответ. S_{\triangle ADP}=\frac{S_{\triangle ABP}\cdot S_{\triangle DCP}}{S_{\triangle BPC}}
.
Решение. У треугольников ABP
и BCP
общая высота, проведённая из вершины B
, поэтому \frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle BCP}}=\frac{AP}{CP}
. Аналогично, \frac{S_{\triangle ADP}}{S_{\triangle CDP}}=\frac{AP}{CP}
. Поэтому \frac{S_{\triangle ABP}}{S_{\triangle BCP}}=\frac{S_{\triangle ADP}}{S_{\triangle CDP}}
. Откуда находим, что S_{\triangle ADP}=\frac{S_{\triangle ABP}\cdot S_{\triangle DCP}}{S_{\triangle BPC}}
.
Примечание. Фактически доказано следующее утверждение: если S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
и S_{4}
— площади последовательных треугольников, на которые диагонали разбивают выпуклый четырёхугольник, то S_{1}\cdot S_{3}=S_{2}\cdot S_{4}
.