4209. В треугольнике ABC
, известно, что BC=a
, AC=b
, AB=c
, O
— центр вписанной окружности. Разложите вектор \overrightarrow{OC}
по векторам \overrightarrow{CB}
и \overrightarrow{CA}
Ответ. \overrightarrow{OC}=-\frac{a}{a+b+c}\overrightarrow{CA}-\frac{b}{a+b+c}\overrightarrow{CB}
.
Решение. Поскольку центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис, точка O
лежит на отрезке CD
. По свойству биссектрисы треугольника \frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}
, поэтому AD=\frac{bc}{a+b}
. В то же время, AO
— биссектриса треугольника AOB
, поэтому
\frac{CO}{OD}=\frac{AC}{AD}=\frac{b}{\frac{bc}{a+b}}=\frac{a+b}{c},
значит,
\frac{CO}{CD}=\frac{a+b}{a+b+c},
а так как \frac{BD}{AB}=\frac{a}{a+b}
и \frac{AD}{AB}=\frac{b}{a+b}
, то
\overrightarrow{CD}=\frac{BD}{AB}\overrightarrow{CA}+\frac{AD}{AB}\overrightarrow{CB}=\frac{a}{a+b}\overrightarrow{CA}+\frac{b}{a+b}\overrightarrow{CB}.
Следовательно,
\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{CO}=-\frac{a+b}{a+b+c}\overrightarrow{CD}=-\frac{a+b}{a+b+c}\left(\frac{a}{a+b}\overrightarrow{CA}+\frac{b}{a+b}\overrightarrow{CB}\right)=
=-\frac{a}{a+b+c}\overrightarrow{CA}-\frac{b}{a+b+c}\overrightarrow{CB}.