4212. Даны точки A(2;4)
, B(6;-4)
и C(-8;-1)
. Докажите, что треугольник ABC
прямоугольный.
Указание. Вычислите стороны данного треугольника и примените теорему, обратную теореме Пифагора (или вычислите скалярное произведение векторов \overrightarrow{AB}
и \overrightarrow{AC}
).
Решение. Первый способ. По формуле для расстояния между двумя точками находим, что
AB=\sqrt{(6-2)^{2}+(-4-4)^{2}}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80},~
AC=\sqrt{(-8-2)^{2}+(-1-4)^{2}}=\sqrt{100+25}=\sqrt{125},~
BC=\sqrt{(-8-6)^{2}+(-1+4)^{2}}=\sqrt{196+9}=\sqrt{205}.
Поскольку AB^{2}+AC^{2}=80+125=205=BC^{2}
, то треугольник ABC
— прямоугольный.
Второй способ. Поскольку
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{(6-2;-4-4)}=\overrightarrow{(4;-8)},~\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{(-8-2;-1-4)}=\overrightarrow{(-10;-5)},~
\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{(-8-6;-1+4)}=\overrightarrow{(-14;3)},
то
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\cdot(-10)+(-8)\cdot(-5)=-40+40=0,
откуда \overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}
. Следовательно, треугольник ABC
— прямоугольный.